Котёнок, Коперник и астроида

Рассказ пойдёт о падающей лестнице, теореме Коперника и об астроиде. Оказывается, это почти одно и то же! Если пожелаете познакомиться со всем этим подробнее, обратитесь к книге «Прямые и кривые» Н.Б. Васильева и В.Л. Гутенмахера.

Котёнок и астроида

Котёнок на лестнице

Как-то раз сидел маленький котёнок на лестнице. В точности в её середине.

Котёнок на лестнице

В начале лестница стояла строго вертикально, обоими концами у стены.

Вертикальный отрезок

Вертикальное положение весьма неустойчиво. Вот лестница и упала. Падала она так, что верхний её конец спускался сверху вниз по вертикальной стене, а нижний скользил по земле. Проследите за траекторией красной точки — середины лестницы.

Падение лестницы

Это дуга окружности. Её центр — вершина прямого угла.

Четверть окружности

Доказательство: диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам; расстояние от вершины прямоугольника до котёнка — то есть до точки пересечения диагоналей прямоугольника — равно половине диагонали. (Подумайте, как падал бы котёнок, если бы нижний конец лестницы застрял в вершине прямого угла. Два способа падения лестницы — две диагонали прямоугольника! Траектория котёнка одна и та же, только при одном способе падения котёнок в последний момент оказывается над лестницей, а при другом — под лестницей.) Мы доказали, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам

Теорема Коперника

Рассмотрим окружность.

Окружность

Внутри неё расположим окружность вдвое меньшего радиуса так, чтобы эти две окружности — большая и маленькая — касались. Поскольку диаметр меньшей окружности равен радиусу исходной, то меньшая окружность проходит через центр исходной окружности.

Изнутри касающаяся окружность вдвое меньшего радиуса

Отметим на меньшей окружности произвольную точку.

Точка на меньшей окружности

Пусть меньшая окружность движется без проскальзывания по неподвижной исходной окружности. Проследите за траекторией отмеченной точки!

Меньшая окружность катится

Траектория — диаметр исходной окружности!

Траектория - диаметр

Чтобы доказать эту теорему, дождёмся момента, когда отмеченная точка окажется точкой касания движущейся и неподвижной окружностей, и обозначим эту точку буквой A.

Отмечаем точку касания

В процессе движения отмеченная точка сдвинется с неподвижной окружности внутрь круга. Длины прокатившихся одна по другой дуг (синих на рисунке) равны — движение происходит без проскальзывания. (В доказательстве это не нуждается, поскольку движение без проскальзывания — это и есть движение, при котором длины прокатившихся одна по другой дуг равны.)

Длины прокатившихся одна по другой дуг равны

По теореме о вписанном угле величина угла TQK в два раза больше величины угла TOK. Поскольку радиус меньшей окружности в два раза меньше радиуса неподвижной окружности, то угол TOK высекает на неподвижной окружности дугу той же длины, что и дуга, высекаемая на окружности вдвое меньшего радиуса вдуое большим углом TQK. Это и означает, что точка K лежит на отрезке OA.

Доказательство теоремы Коперника

В некоторый момент отмеченная точка окажется в центре неподвижной окружности. К этому моменту половина меньшей окружности прокатилась по четверти неподвижной окружности.

Половина меньшей окружности прокатилась по четверти неподвижной окружности

В этот момент времени угол TAK прямой.

Случай, когда по неподвижной окружности прокатилась половина подвижной окружности

Смотрите, как расположены точки после того, отмеченная точка прошла через центр неподвижного круга.

Расположение точек после того, отмеченная точка прошла через центр неподвижного круга

Поскольку движение происходило без проскальзывания, то длина белой дуги TK равна длине дуги, дополняющей синюю и голубую дуги неподвижной окружности до полуокружности. Таким образом этот случай сводится к уже рассмотренному случаю теоремы Коперника. (На рисунке равны длины синих дуг; равны и длины голубых дуг.)

Доказательство теоремы Коперника для расположения точек, достигаемого после того, как отмеченная точка прошла через центр неподвижного круга

Теорема Коперника доказана!

Теорема Коперника: траектория — диаметр

Прямоугольный треугольник и лестница

Мы уже изучили траекторию котёнка, сидящего в середине падающей лестницы. Заменим котёнка на прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является лестница. Проследите за траекторией синей точки — вершины прямого угла движущегося треугольника!

Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого — падающая лестница

Величины острых углов подвижного треугольника — 30 и 60 градусов, поэтому его меньший катет равен половине гипотенузы (читателям, которые забыли или никогда не знали доказательство этого факта, напоминаю: такой прямоугольный треугольник является половиной равностороннего треугольника). Только по этой случайной причине (не обязательно величины углов треугольника именно таковы!) в завершающий момент падения синяя точка оказывается на красной пунктирной окружности.

Меньший катет — половина гипотенузы

Траектория вершины прямого угла движущегося треугольника — отрезок! Тому, что его конец оказался на траектории середины гипотенузы, мы всецело обязаны величинам углов движущегося прямоугольного треугольника. А тому, что это отрезок, а не более сложная линия,— теореме о вписанном угле.

Траектория вершины прямого угла — отрезок

В каждый момент движения существует окружность, проходящая через вершины движущегося треугольника и вершину неподвижного прямого угла (образованного стеной и полом). В самом деле, к каждому из двух прямоугольных треугольников, обладающих общей биссектрисой, применима теорема о том, что вершина прямого угла лежит на окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре (другими словами, что проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе медиана равна половине гипотенузы). Вследствие этой теоремы середина лестницы в процессе движения удалена от вершин обоих прямых углов на расстояние, равное половине длины лестницы.

Выделенные углы опираются на одну и ту же дугу окружности; следовательно, их величины равны. Поскольку в процессе движения величины углов движущегося треугольника не меняются, то отмеченный неподвижный угол неизменен; а это и означает, что траектория — отрезок.

Величины выделенных углов равны

Добавим к рассматриваемому рисунку окружность с центром в вершине неподвижного прямого угла и радиуом, равным длине лестницы. Очевидно, все три вершины движущегося треугольника участвуют в том самом движении, о котором говорит теорема Торричелли: каждая — по своему диаметру неподвижной окружности.

Каждая точка движется по своему диаметру

Движение не обязательно ограничивать одним квадрантом: точки могут пробегать соответствующие диаметры окружностей целиком.

Точки движутся не по радиусам, а по диаметрам

Середина гипотенузы, как помните, движется по окружности, концентрической неподвижной окружности.

Середина гипотенузы движется по окружности, концентрической неподвижной окружности.

Проследите взглядом за движением жёлтого отрезка — гипотенузы только что обсуждавшегося треугольника.

Движение жёлтого отрезка

Отрезок в каждый момент движения касается астроиды. А объединение всех возможных положений жёлтого отрезка — внутренность астроиды.

Астроида

На предыдущем рисунке отрезки двигались, а на следующем — один фиксированный момент из бесконечного множества.

Один из кадров предыдущего мультфильма

А на следующем мультфильме астроида выделена красным цветом.

Астроида — красная

Рассмотрим окружность, радиус которой вчетверо меньше радиуса неподвижной окружности. Траектория движения точки такой окружности, когда она катится (без проскальзывания!) внутри подвижной окружности — та же самая астроида!

Другое определение астроиды

Доказать равносильность двух определений астроиды можно при помощи метода координат и формул синуса и косинуса утроенного угла.

Координатное доказательство равносильности двух определений астроиды

Можно доказать равносильность двух определений астроиды можно и без применения метода координат, а при помощи идей механики. Смотрете, как катятся без проскальзывания две окружности и диаметр по гладкой — но не обязательно совершенно прямой — дороге.

Движение по гладкой, но не обязательно ровной дороге

При любом движении вектор скорости в любой момент времени касается траектории движения.

Вектор скорости касается траектории движения

При поступательном движении векторы скоростей всех точек сонаправлены и равны по длине.

При поступательном движении все векторы скоростей равны

При вращательном движении вектор скорости любой точки перпендикулярен радиус-вектору этой точки, а длина вектора прямо пропорциональна расстоянию от точки до центра вращения.

Вращение и векторы скоростей четырёх точек

При движении без проскальзывания в каждый данный момент времени мгновенным центром вращения является точка касания катящегося тела с неподвижной дорогой. Это означает, что (красный) вектор скорости любой точки перпендикулярен отрезку, соединяющему рассматриваемую (синюю) точку с (жёлтой) точкой касания. А длина вектора скорости прямо пропорциональна расстоянию от точки до точки касания.

Точка касания — мгновенный центр вращения

Вектор скорости касается траектории рассматриваемой нами точки. Он перпендикулярен жёлтому отрезку. Поскольку внутренняя окружность без проскальзывания движется по внешней, то рассматриваемая синяя точка в силу теоремы Торричелли движется по диаметру внешней окружности. Вектор скорости направлен вдоль диаметра.

Вектор скорости направлен вдоль диаметра

Применим только что сделанные наблюдения к случаю, когда дорога — окружность, радиус которой вдвое больше радиуса движущейся окружности и, соответственно, вчетверо больше радиуса внутренней движущейся окружности. Мы доказали равносильность двух определений астроиды.

Окружность — дорога без конца и без начала

Рассмотрим астроиду ещё с одной стороны. Пусть две полосы — вертикальная ширины a и горизонтальная ширины b пересекаются под прямым углом.

Две перпендикулярные полосы

Выясним, отрезки какой длины могут из вертикального положения в вертикальной полосе перейти в горизонтальное положение в горизонтальной полосе. Другими словами, сколь длинные брёвна могут пройти поворот?

Бревно в реке

Очевидно, если бревно не слишком длинное, то поворот возможен.

Движение короткого бревна

А если бревно слишком длинное, то оно обязательно застрянет.

Длинное бревно непременно застрянет

Подумайте, как лучше всего двигать бревно? Очевидно, сначала его надо прижать к вертикальной левой прямой, затем поворачивать так, чтобы верхний конец упирался в вертикальную левую прямую, а нижний — в нижнюю горизонтальную прямую.

Как лучше двигать бревно?

При этом своём движении бревно заметает внутренность астроиды. Застрянет бревно или нет, зависит от того, внутри или вне астроиды лежит вершина угла, образованного правой вертикальной и верхней горизонтальной прямыми.

Бревно заметает внутренность астроиды

В виде неравенства это записывается так: если сумма a3 + b3 больше величины d3, то бревно сможет пройти поворот, а если меньше, то застрянет.

Астроида и система координат